$n$ が2以上の自然数であるとき、次の和を求めます。 $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}$

1. 問題の内容

$n$ が2以上の自然数であるとき、次の和を求めます。

$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}$

2. 解き方の手順

この問題は、部分分数分解を利用して解きます。

一般項 $\frac{1}{(k-1)k(k+1)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k} + \frac{C}{k+1}$ とおきます。

両辺に $(k-1)k(k+1)$ を掛けると、

$1 = A \cdot k \cdot (k+1) + B \cdot (k-1) \cdot (k+1) + C \cdot (k-1) \cdot k$

となります。

$k = 0$ のとき $1 = -B$ より $B = -1$

$k = 1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -1$ のとき $1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{k} + \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{2}{k} + \frac{1}{k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} - \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \right) = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) - \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \right]$

したがって、

$\frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)}\right)$

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)}\right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{(n-1)n} - \frac{1}{n(n+1)}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1) - 2}{2n(n+1)} \right) = \frac{n^2+n-2}{4n(n+1)} = \frac{(n+2)(n-1)}{4n(n+1)}$

別解

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{2}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n(n+1) - 2}{n(n+1)} \right) = \frac{n^2+n-2}{4n(n+1)}$

$= \frac{(n-1)(n+2)}{4n(n+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)(n+2)}{4n(n+1)}$