微分可能な関数 $f(x)$ に対して、関数 $g(x)$ が与えられています。$f(2) = 1$、$f'(2) = -3$ であるとき、以下の2つの場合について $g'(2)$ を求めます。 (1) $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$ (2) $g(x) = (f(x) + 1)^3$

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x)$ に対して、関数 $g(x)$ が与えられています。$f(2) = 1$、$f'(2) = -3$ であるとき、以下の2つの場合について $g'(2)$ を求めます。

(1) $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$

(2) $g(x) = (f(x) + 1)^3$

2. 解き方の手順

(1) $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$ の場合

まず、$g(x)$ を微分します。積の微分法を使うと、

$$g'(x) = (x^2 + 1)'f(x) + (x^2 + 1)f'(x) = 2xf(x) + (x^2 + 1)f'(x)$$

$x = 2$ を代入すると、

$$g'(2) = 2(2)f(2) + (2^2 + 1)f'(2) = 4f(2) + 5f'(2)$$

$f(2) = 1$、$f'(2) = -3$ を代入すると、

$$g'(2) = 4(1) + 5(-3) = 4 - 15 = -11$$

(2) $g(x) = (f(x) + 1)^3$ の場合

まず、$g(x)$ を微分します。合成関数の微分法を使うと、

$$g'(x) = 3(f(x) + 1)^2 f'(x)$$

$x = 2$ を代入すると、

$$g'(2) = 3(f(2) + 1)^2 f'(2)$$

$f(2) = 1$、$f'(2) = -3$ を代入すると、

$$g'(2) = 3(1 + 1)^2 (-3) = 3(2)^2 (-3) = 3(4)(-3) = -36$$

3. 最終的な答え

(1) $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$ の場合、 $g'(2) = -11$

(2) $g(x) = (f(x) + 1)^3$ の場合、 $g'(2) = -36$