関数 $y = \frac{x^2}{(2x-1)^3}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2}{(2x-1)^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ となります。

この問題では、$u = x^2$、$v = (2x-1)^3$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$v' = \frac{d}{dx}((2x-1)^3)$ を求めるには、合成関数の微分を使用します。

$(2x-1)^3$ の微分は、$3(2x-1)^2 \cdot 2 = 6(2x-1)^2$ となります。

したがって、$v' = 6(2x-1)^2$ です。

次に、商の微分公式にこれらの値を代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(2x-1)^3 - x^2(6(2x-1)^2)}{((2x-1)^3)^2}$

$y' = \frac{2x(2x-1)^3 - 6x^2(2x-1)^2}{(2x-1)^6}$

$(2x-1)^2$ で分子を括り出します。

$y' = \frac{(2x-1)^2(2x(2x-1) - 6x^2)}{(2x-1)^6}$

$y' = \frac{2x(2x-1) - 6x^2}{(2x-1)^4}$

分子を整理します。

$2x(2x-1) - 6x^2 = 4x^2 - 2x - 6x^2 = -2x^2 - 2x = -2x(x+1)$

したがって、

$y' = \frac{-2x(x+1)}{(2x-1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x(x+1)}{(2x-1)^4}$