関数 $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x + 1}$ を微分して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は、

$$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

である。ここで、$u = x^2 - 2x + 1$、$v = x^2 + x + 1$ とおく。

まず、$u$ と $v$ をそれぞれ微分する。

$$u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 1) = 2x - 2$$

$$v' = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 1) = 2x + 1$$

次に、商の微分公式に代入する。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x - 2)(x^2 + x + 1) - (x^2 - 2x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$$

分子を展開して整理する。

\begin{align*}

(2x - 2)(x^2 + x + 1) &= 2x^3 + 2x^2 + 2x - 2x^2 - 2x - 2 \\

&= 2x^3 - 2

\end{align*}

\begin{align*}

(x^2 - 2x + 1)(2x + 1) &= 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 2x + 2x + 1 \\

&= 2x^3 - 3x^2 + 1

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

\frac{dy}{dx} &= \frac{(2x^3 - 2) - (2x^3 - 3x^2 + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} \\

&= \frac{2x^3 - 2 - 2x^3 + 3x^2 - 1}{(x^2 + x + 1)^2} \\

&= \frac{3x^2 - 3}{(x^2 + x + 1)^2}

\end{align*}

分子を3でくくると

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$$