与えられた積分問題を解きます。不定積分と定積分の両方が含まれます。 (1) $\int 2x^4 dx$ (2) $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx$ (3) $\int (2x - 1) dx$ (4) $\int 4x^7 dx$ (5) $\int (x+3)(x-3) dx$ (6) $\int_{-1}^{1} 2x^4 dx$ (7) $\int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx$ (8) $\int_{0}^{1} (4x - 3) dx$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。不定積分と定積分の両方が含まれます。

(1) $\int 2x^4 dx$

(2) $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx$

(3) $\int (2x - 1) dx$

(4) $\int 4x^7 dx$

(5) $\int (x+3)(x-3) dx$

(6) $\int_{-1}^{1} 2x^4 dx$

(7) $\int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx$

(8) $\int_{0}^{1} (4x - 3) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 2x^4 dx$

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

$\int 2x^4 dx = 2 \int x^4 dx = 2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 2 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{2}{5}x^5 + C$

(2) $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx$

$\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx = 4 \int x^3 dx + 3 \int x^2 dx + 2 \int x dx + \int 1 dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^4 + x^3 + x^2 + x + C$

(3) $\int (2x - 1) dx$

$\int (2x - 1) dx = 2 \int x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$

(4) $\int 4x^7 dx$

$\int 4x^7 dx = 4 \int x^7 dx = 4 \cdot \frac{x^8}{8} + C = \frac{1}{2}x^8 + C$

(5) $\int (x+3)(x-3) dx$

まず、$(x+3)(x-3)$ を展開します。

$(x+3)(x-3) = x^2 - 9$

したがって、$\int (x+3)(x-3) dx = \int (x^2 - 9) dx = \int x^2 dx - \int 9 dx = \frac{x^3}{3} - 9x + C$

(6) $\int_{-1}^{1} 2x^4 dx$

$\int_{-1}^{1} 2x^4 dx = 2 \int_{-1}^{1} x^4 dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{-1}{5} \right) = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \right) = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

(7) $\int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx$

$\int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) dx = \left[ x^4 + x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{1} = (1^4 + 1^3 + 1^2 + 1) - (0^4 + 0^3 + 0^2 + 0) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

(8) $\int_{0}^{1} (4x - 3) dx$

$\int_{0}^{1} (4x - 3) dx = \left[ 2x^2 - 3x \right]_{0}^{1} = (2(1)^2 - 3(1)) - (2(0)^2 - 3(0)) = (2 - 3) - (0 - 0) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5}x^5 + C$

(2) $x^4 + x^3 + x^2 + x + C$

(3) $x^2 - x + C$

(4) $\frac{1}{2}x^8 + C$

(5) $\frac{x^3}{3} - 9x + C$

(6) $\frac{4}{5}$

(7) $4$

(8) $-1$