$y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分する。

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分する。

2. 解き方の手順

$y$を$x$で微分することを考えます。これは合成関数の微分なので、まずは $y = \frac{1}{u}$ と $u = x^3 + 2x + 1$ と考えます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ なので、

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = x^3 + 2x + 1$ なので、

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 2) = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}$