不定積分 $\int \frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} dx$ を計算し、結果を $\frac{3}{2} \log|アx + イ| - 2 \log|x + ウ| + C$ の形で表す。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} dx$ を計算し、結果を $\frac{3}{2} \log|アx + イ| - 2 \log|x + ウ| + C$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

分母を因数分解すると、 $2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)$ となります。

したがって、

$$\frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} = \frac{A}{2x+3} + \frac{B}{x+2}$$

とおきます。両辺に $(2x+3)(x+2)$ を掛けると、

$$-x = A(x+2) + B(2x+3) = (A+2B)x + (2A+3B)$$

となります。係数を比較すると、

$$\begin{cases} A + 2B = -1 \\ 2A + 3B = 0 \end{cases}$$

この連立方程式を解きます。2つ目の式から $A = -\frac{3}{2}B$ となります。これを1つ目の式に代入すると、

$$-\frac{3}{2}B + 2B = -1$$

$$\frac{1}{2}B = -1$$

$$B = -2$$

したがって、$A = -\frac{3}{2}(-2) = 3$ となります。

よって、

$$\frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} = \frac{3}{2x+3} - \frac{2}{x+2}$$

となります。

したがって、

$$\int \frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} dx = \int \left( \frac{3}{2x+3} - \frac{2}{x+2} \right) dx = \frac{3}{2} \int \frac{2}{2x+3} dx - 2 \int \frac{1}{x+2} dx$$

$$= \frac{3}{2} \log|2x+3| - 2 \log|x+2| + C$$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 2