不定積分 $\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6 \sin x} dx$ を求めよ。結果は $\frac{1}{ア} \log \left| \frac{イ - \sin x}{ウ - \sin x} \right| + C$ の形で与えられている。ア、イ、ウを求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6 \sin x} dx$ を求めよ。結果は $\frac{1}{ア} \log \left| \frac{イ - \sin x}{ウ - \sin x} \right| + C$ の形で与えられている。ア、イ、ウを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ を用いて、積分を書き換える。

$$\int \frac{\cos x}{5 - (1 - 2 \sin^2 x) - 6 \sin x} dx = \int \frac{\cos x}{4 + 2 \sin^2 x - 6 \sin x} dx$$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、$dt = \cos x dx$ であるから、

$$\int \frac{1}{2t^2 - 6t + 4} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 - 3t + 2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t-1)(t-2)} dt$$

部分分数分解を行う。

$$\frac{1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2}$$

$$1 = A(t-2) + B(t-1)$$

$t=1$ のとき、$1 = A(1-2) + B(1-1)$ より $A = -1$

$t=2$ のとき、$1 = A(2-2) + B(2-1)$ より $B = 1$

よって、

$$\frac{1}{(t-1)(t-2)} = \frac{-1}{t-1} + \frac{1}{t-2}$$

したがって、

$$\frac{1}{2} \int \left( \frac{-1}{t-1} + \frac{1}{t-2} \right) dt = \frac{1}{2} (-\log|t-1| + \log|t-2|) + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-2}{t-1} \right| + C$$

$t = \sin x$ を代入して、

$$\frac{1}{2} \log \left| \frac{\sin x - 2}{\sin x - 1} \right| + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{2 - \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$$

したがって、ア = 2, イ = 2, ウ = 1

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 1