次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{dx}{1 + \cos x + \sin x}$ (2) $\int \sin^3 x \cos^3 x dx$ (3) $\int \frac{dx}{1 - \tan^2 x}$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{dx}{1 + \cos x + \sin x}$

(2) $\int \sin^3 x \cos^3 x dx$

(3) $\int \frac{dx}{1 - \tan^2 x}$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{1 + \cos x + \sin x}$

半角の公式 $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$, $dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ を用いて、 $t = \tan \frac{x}{2}$ と置換する。

$\int \frac{dx}{1 + \cos x + \sin x} = \int \frac{1}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{2}{1 + t^2 + 1 - t^2 + 2t} dt = \int \frac{2}{2 + 2t} dt = \int \frac{1}{1 + t} dt = \log |1 + t| + C = \log |1 + \tan \frac{x}{2}| + C$

(2) $\int \sin^3 x \cos^3 x dx$

$\sin^3 x \cos^3 x = (\sin x \cos x)^3 = (\frac{1}{2} \sin 2x)^3 = \frac{1}{8} \sin^3 2x$

$\sin^3 2x = \sin 2x \sin^2 2x = \sin 2x (1 - \cos^2 2x)$

$\int \sin^3 x \cos^3 x dx = \int \frac{1}{8} \sin^3 2x dx = \frac{1}{8} \int \sin 2x (1 - \cos^2 2x) dx$

$u = \cos 2x$ と置換すると, $du = -2 \sin 2x dx$ より, $\sin 2x dx = -\frac{1}{2} du$

$\frac{1}{8} \int \sin 2x (1 - \cos^2 2x) dx = \frac{1}{8} \int (1 - u^2) (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{16} \int (1 - u^2) du = -\frac{1}{16} (u - \frac{1}{3} u^3) + C = -\frac{1}{16} \cos 2x + \frac{1}{48} \cos^3 2x + C$

(3) $\int \frac{dx}{1 - \tan^2 x}$

$\int \frac{dx}{1 - \tan^2 x} = \int \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} dx = \int \frac{\cos^2 x}{\cos 2x} dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2 \cos 2x} dx = \int (\frac{1}{2 \cos 2x} + \frac{1}{2}) dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos 2x} dx + \frac{1}{2} \int dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos u} du + \frac{1}{2} x$

ここで、$u=2x$とおいた。 $\int \frac{1}{\cos x}dx = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right|$を使う。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos u} du + \frac{1}{2} x = \frac{1}{4} \ln \left| \tan \left( \frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + \frac{1}{2} x + C = \frac{1}{4} \ln \left| \tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right| + \frac{1}{2} x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\log |1 + \tan \frac{x}{2}| + C$

(2) $-\frac{1}{16} \cos 2x + \frac{1}{48} \cos^3 2x + C$

(3) $\frac{1}{4} \ln \left| \tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right| + \frac{1}{2} x + C$