与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (3) $\sqrt{x^2 - 5x + 8}$ (4) $\log(x^4 + x^2 + 2)$ (5) $\sin(2x^3 + 1)$ (6) $\cos(e^{2x})$

解析学微分合成関数の微分対数関数三角関数指数関数
2025/7/23

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。
(3) x25x+8\sqrt{x^2 - 5x + 8}
(4) log(x4+x2+2)\log(x^4 + x^2 + 2)
(5) sin(2x3+1)\sin(2x^3 + 1)
(6) cos(e2x)\cos(e^{2x})

2. 解き方の手順

(3) y=x25x+8y = \sqrt{x^2 - 5x + 8} の微分
合成関数の微分を使います。y=uy = \sqrt{u}u=x25x+8u = x^2 - 5x + 8とすると、
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=12u\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}
dudx=2x5\frac{du}{dx} = 2x - 5
よって、
dydx=12x25x+8(2x5)=2x52x25x+8\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 8}} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 8}}
(4) y=log(x4+x2+2)y = \log(x^4 + x^2 + 2) の微分
合成関数の微分を使います。y=log(u)y = \log(u)u=x4+x2+2u = x^4 + x^2 + 2とすると、
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=1u\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} (自然対数と仮定)
dudx=4x3+2x\frac{du}{dx} = 4x^3 + 2x
よって、
dydx=1x4+x2+2(4x3+2x)=4x3+2xx4+x2+2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^4 + x^2 + 2} \cdot (4x^3 + 2x) = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 + 2}
(5) y=sin(2x3+1)y = \sin(2x^3 + 1) の微分
合成関数の微分を使います。y=sin(u)y = \sin(u)u=2x3+1u = 2x^3 + 1とすると、
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=cos(u)\frac{dy}{du} = \cos(u)
dudx=6x2\frac{du}{dx} = 6x^2
よって、
dydx=cos(2x3+1)6x2=6x2cos(2x3+1)\frac{dy}{dx} = \cos(2x^3 + 1) \cdot 6x^2 = 6x^2\cos(2x^3 + 1)
(6) y=cos(e2x)y = \cos(e^{2x}) の微分
合成関数の微分を使います。y=cos(u)y = \cos(u)u=e2xu = e^{2x}とすると、
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=sin(u)\frac{dy}{du} = -\sin(u)
u=e2xu = e^{2x}の微分をさらに合成関数の微分で計算します。u=evu = e^vv=2xv = 2xとすると、
dudx=dudvdvdx=ev2=2e2x\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = e^v \cdot 2 = 2e^{2x}
よって、
dydx=sin(e2x)2e2x=2e2xsin(e2x)\frac{dy}{dx} = -\sin(e^{2x}) \cdot 2e^{2x} = -2e^{2x}\sin(e^{2x})

3. 最終的な答え

(3) 2x52x25x+8\frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 8}}
(4) 4x3+2xx4+x2+2\frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 + 2}
(5) 6x2cos(2x3+1)6x^2\cos(2x^3 + 1)
(6) 2e2xsin(e2x)-2e^{2x}\sin(e^{2x})

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