## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. 関数 $f(x) = -x^3 + 6x$ の $-3 \le x \le 2$ における、極大値、極小値、最大値、最小値を求めよ。

2. 関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ の $-3 \le x \le 3$ における、極大値、極小値、最大値、最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題1: $f(x) = -x^3 + 6x$, $-3 \le x \le 2$

1. **導関数を求める:**

$f'(x) = -3x^2 + 6$

2. **極値を求める:**

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

区間 $-3 \le x \le 2$ に含まれるのは $x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$

3. **増減表を作成:**

$x$ | -3 | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | $\sqrt{2}$ | ... | 2

---|---|---|---|---|---|---|---

$f'(x)$ | | - | 0 | + | 0 | - |

$f(x)$ | 9 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | -4

4. **極値を計算:**

$f(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^3 + 6(-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$

$f(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^3 + 6(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

5. **区間の端での値を計算:**

$f(-3) = -(-3)^3 + 6(-3) = 27 - 18 = 9$

$f(2) = -(2)^3 + 6(2) = -8 + 12 = 4$

6. **最大値・最小値を決定:**

$9, -4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 4$ を比較する。

$4\sqrt{2} \approx 5.66$

$-4\sqrt{2} \approx -5.66$

よって、

最大値は $9$ ($x = -3$)

最小値は $-4\sqrt{2}$ ($x = -\sqrt{2}$)

### 問題2: $f(x) = x^2e^{-x}$, $-3 \le x \le 3$

1. **導関数を求める:**

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2-x)$

2. **極値を求める:**

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$xe^{-x}(2-x) = 0$

$x = 0, 2$

区間 $-3 \le x \le 3$ に含まれるのは $x = 0$ と $x = 2$

3. **増減表を作成:**

$x$ | -3 | ... | 0 | ... | 2 | ... | 3

---|---|---|---|---|---|---|---

$f'(x)$ | | + | 0 | + | 0 | - |

$f(x)$ | | 増加 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

4. **極値を計算:**

$f(0) = (0)^2e^{-(0)} = 0$

$f(2) = (2)^2e^{-(2)} = 4e^{-2}$

5. **区間の端での値を計算:**

$f(-3) = (-3)^2e^{-(-3)} = 9e^{3} \approx 180.76$

$f(3) = (3)^2e^{-(3)} = 9e^{-3} \approx 0.45$

6. **最大値・最小値を決定:**

$0, 4e^{-2}, 9e^3, 9e^{-3}$ を比較する。

$4e^{-2} \approx 0.54$

よって、

最大値は $9e^3$ ($x = -3$)

最小値は $0$ ($x = 0$)

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3. 最終的な答え

### 問題1: $f(x) = -x^3 + 6x$, $-3 \le x \le 2$

* 極大値: $4\sqrt{2}$ ($x = \sqrt{2}$)

* 極小値: $-4\sqrt{2}$ ($x = -\sqrt{2}$)

* 最大値: $9$ ($x = -3$)

* 最小値: $-4\sqrt{2}$ ($x = -\sqrt{2}$)

### 問題2: $f(x) = x^2e^{-x}$, $-3 \le x \le 3$

* 極大値: $4e^{-2}$ ($x = 2$)

* 極小値: $0$ ($x = 0$)

* 最大値: $9e^{3}$ ($x = -3$)

* 最小値: $0$ ($x = 0$)