関数 $f(x) = x^{3x}$ ($x > 0$) を対数微分法を用いて微分せよ。

はい、承知いたしました。それでは、画像にある2つの問題を解きます。

**問題3**

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{3x}$ ($x > 0$) を対数微分法を用いて微分せよ。

2. 解き方の手順

* まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln(f(x)) = \ln(x^{3x})$

$\ln(f(x)) = 3x \ln(x)$

* 次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3\ln(x) + 3x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3\ln(x) + 3$

* $f'(x)$ について解きます。

$f'(x) = f(x) (3\ln(x) + 3)$

$f'(x) = x^{3x} (3\ln(x) + 3)$

$f'(x) = 3x^{3x} (\ln(x) + 1)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^{3x}(\ln(x) + 1)$

**問題4**

1. 問題の内容

関数 $x = \frac{1}{2}\tan y$ ( $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$) の逆関数 $y = \tan^{-1} 2x$ ($-\infty < x < \infty$) を、逆関数の微分の公式を用いて微分せよ。

2. 解き方の手順

* 与えられた式 $x = \frac{1}{2} \tan y$ から $\frac{dx}{dy}$ を求めます。

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} \sec^2 y$

* 逆関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sec^2 y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sec^2 y}$

* $\sec^2 y$ を $\tan y$ で表します。$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + \tan^2 y}$

* $\tan y = 2x$ であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + (2x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 4x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 4x^2}$