次の不定積分を求めます。 $\int \frac{x^2}{x^3 - x - 6} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{x^2}{x^3 - x - 6} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母 $x^3 - x - 6$ を因数分解します。$x=2$ を代入すると $2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0$ なので、$x-2$ を因数に持ちます。組み立て除法を用いると、

$x^3 - x - 6 = (x-2)(x^2 + 2x + 3)$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2}{(x-2)(x^2 + 2x + 3)} dx$

となります。ここで、部分分数分解を考えます。

$\frac{x^2}{(x-2)(x^2+2x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+3}$

両辺に $(x-2)(x^2+2x+3)$ を掛けると、

$x^2 = A(x^2+2x+3) + (Bx+C)(x-2)$

$x^2 = Ax^2 + 2Ax + 3A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$

$x^2 = (A+B)x^2 + (2A-2B+C)x + (3A-2C)$

係数を比較して、

$A+B = 1$

$2A-2B+C = 0$

$3A-2C = 0$

3番目の式より $2C = 3A$ なので、$C = \frac{3}{2}A$

1番目の式より $B = 1-A$

これらを2番目の式に代入して、

$2A - 2(1-A) + \frac{3}{2}A = 0$

$2A - 2 + 2A + \frac{3}{2}A = 0$

$\frac{11}{2}A = 2$

$A = \frac{4}{11}$

したがって、$B = 1 - \frac{4}{11} = \frac{7}{11}$、 $C = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{11} = \frac{6}{11}$

$\int \frac{x^2}{(x-2)(x^2+2x+3)} dx = \int \left( \frac{4/11}{x-2} + \frac{(7/11)x + (6/11)}{x^2+2x+3} \right) dx$

$= \frac{4}{11} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{1}{11} \int \frac{7x+6}{x^2+2x+3} dx$

$= \frac{4}{11} \ln|x-2| + \frac{1}{11} \int \frac{7x+6}{(x+1)^2+2} dx$

ここで、$7x+6 = a(2x+2) + b$ となるように $a, b$ を定める。

$7x+6 = 7/2(2x+2) -1$

従って、

$\int \frac{7x+6}{(x+1)^2+2} dx = \int \frac{7/2(2x+2)-1}{(x+1)^2+2} dx = \frac{7}{2} \int \frac{2x+2}{(x+1)^2+2} dx - \int \frac{1}{(x+1)^2+2}dx$

$= \frac{7}{2}\ln(x^2+2x+3) - \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{x+1}{\sqrt{2}}} + C$

ゆえに

$\int \frac{x^2}{x^3-x-6} dx = \frac{4}{11}\ln|x-2| + \frac{7}{22}\ln(x^2+2x+3) - \frac{1}{11\sqrt{2}}\arctan{\frac{x+1}{\sqrt{2}}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{11}\ln|x-2| + \frac{7}{22}\ln(x^2+2x+3) - \frac{1}{11\sqrt{2}}\arctan{\frac{x+1}{\sqrt{2}}} + C$