与えられた関数 $y = \log \frac{x \sqrt{2x+1}}{(2x-1)^3}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log \frac{x \sqrt{2x+1}}{(2x-1)^3}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して関数を分解します。

$y = \log \left( \frac{x \sqrt{2x+1}}{(2x-1)^3} \right)$

$y = \log (x \sqrt{2x+1}) - \log ( (2x-1)^3 )$

$y = \log x + \log \sqrt{2x+1} - 3 \log (2x-1)$

$y = \log x + \log (2x+1)^{1/2} - 3 \log (2x-1)$

$y = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 3 \log (2x-1)$

次に、各項を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\log x) + \frac{1}{2} \frac{d}{dx} (\log (2x+1)) - 3 \frac{d}{dx} (\log (2x-1))$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot 2 - 3 \cdot \frac{1}{2x-1} \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{6}{2x-1}$

最後に、通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 6x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 - 1 + 2x^2 - x - 12x^2 - 6x}{x(4x^2 - 1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-6x^2 - 7x - 1}{x(4x^2 - 1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(6x^2 + 7x + 1)}{x(4x^2 - 1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(6x+1)(x+1)}{x(2x-1)(2x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(6x+1)(x+1)}{x(2x-1)(2x+1)}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{-6x^2 -7x -1}{4x^3 - x}$