不定積分 $\int \frac{x^2}{x^2 - x - 6} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x^2}{x^2 - x - 6} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ なので、

$\frac{x^2}{x^2 - x - 6} = 1 + \frac{x + 6}{x^2 - x - 6} = 1 + \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2}$

とおきます。

$x + 6 = A(x + 2) + B(x - 3)$

$x = 3$ のとき、$9 = 5A$ より $A = \frac{9}{5}$

$x = -2$ のとき、$4 = -5B$ より $B = -\frac{4}{5}$

したがって、

$\frac{x^2}{x^2 - x - 6} = 1 + \frac{9}{5(x - 3)} - \frac{4}{5(x + 2)}$

よって、

$\int \frac{x^2}{x^2 - x - 6} dx = \int \left(1 + \frac{9}{5(x - 3)} - \frac{4}{5(x + 2)}\right) dx$

$= \int 1 dx + \frac{9}{5} \int \frac{1}{x - 3} dx - \frac{4}{5} \int \frac{1}{x + 2} dx$

$= x + \frac{9}{5} \ln|x - 3| - \frac{4}{5} \ln|x + 2| + C$

3. 最終的な答え

$x + \frac{9}{5} \ln|x - 3| - \frac{4}{5} \ln|x + 2| + C$