次の極限値を計算する。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n^2} \left( \sin \frac{\pi}{n} + 2 \sin \frac{2\pi}{n} + 3 \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + n \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

1. 問題の内容

次の極限値を計算する。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n^2} \left( \sin \frac{\pi}{n} + 2 \sin \frac{2\pi}{n} + 3 \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + n \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

2. 解き方の手順

(1) この極限はリーマン和の形をしている。

$S_1 = \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k\pi}{n}$

これは積分で表すと、

$\int_0^\pi \sin x \, dx$

となる。

$\int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(2) この極限もリーマン和の形をしている。

$S_2 = \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n^2} \sum_{k=1}^n k \sin \frac{k\pi}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \sin \frac{k\pi}{n}$

これは積分で表すと、

$\int_0^\pi x \sin x \, dx$

となる。

部分積分を用いて計算する。

$\int_0^\pi x \sin x \, dx = [-x \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) \, dx = [-x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \, dx = [-x \cos x]_0^\pi + [\sin x]_0^\pi = (-\pi \cos \pi - 0) + (\sin \pi - \sin 0) = (-\pi(-1)) + 0 = \pi$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\pi$