次の面積分を求めます。 $$\iint_S x dxdy$$ ただし、$S$は$x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0$を満たす領域です。つまり、$S$は半径3の円の第1象限の部分です。

1. 問題の内容

次の面積分を求めます。

$$\iint_S x dxdy$$

ただし、$S$は$x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0$を満たす領域です。つまり、$S$は半径3の円の第1象限の部分です。

2. 解き方の手順

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とすると、$dxdy = rdrd\theta$となり、積分範囲は$0 \le r \le 3$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$となります。

したがって、

$$\iint_S x dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 (r\cos\theta) r dr d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 r^2 \cos\theta dr d\theta$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta d\theta \int_0^3 r^2 dr$$

$$= \left[\sin\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^3$$

$$= (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) \left(\frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right)$$

$$= (1 - 0) \left(\frac{27}{3}\right) = 1 \cdot 9 = 9$$

3. 最終的な答え

9