関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減、凹凸、および $\lim_{x\to \pm\infty} f(x)$ を調べ、増減表を作成し、曲線 $y=f(x)$ のグラフの概形を描け。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減、凹凸、および $\lim_{x\to \pm\infty} f(x)$ を調べ、増減表を作成し、曲線 $y=f(x)$ のグラフの概形を描け。

2. 解き方の手順

(1) 関数の定義域を確認する。

　$x^2+1$ は常に正なので、定義域は実数全体である。

(2) 導関数を計算する。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{(-2x)(x^2+1)^2 - (1-x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2x(x^2+1) - 4x(1-x^2)}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x^3 - 2x - 4x + 4x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

(3) $f'(x)=0$ となる $x$ を求める。

　$f'(x) = 0$ となるのは $1-x^2=0$ のときなので、$x = \pm 1$

(4) $f''(x)=0$ となる $x$ を求める。

　$f''(x) = 0$ となるのは $2x(x^2-3) = 0$ のときなので、$x = 0, \pm \sqrt{3}$

(5) $\lim_{x\to \pm\infty} f(x)$ を計算する。

　$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{1/x}{1+1/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0$

　$\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1/x}{1+1/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0$

(6) 増減表を作成する。

| x | $(-\infty)$ | $-\sqrt{3}$ | | -1 | | 0 | | 1 | | $\sqrt{3}$ | | $(+\infty)$ |

| :----- | :------------ | :------------ | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :------------ | :----- | :------------ |

| f'(x) | | | - | 0 | + | + | + | 0 | - | | | |

| f''(x) | | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + | |

| f(x) | 0 | $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ | ↓ | $-\frac{1}{2}$ | ↑ | 0 | ↑ | $\frac{1}{2}$ | ↓ | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | ↑ | 0 |

| 増減 | | 変曲点 | 減少 | 極小 | 増加 | 変曲点 | 増加 | 極大 | 減少 | 変曲点 | 増加 | |

(7) グラフの概形を描く。

グラフは、$x$軸を漸近線とし、$x=-1$ で極小値 $-\frac{1}{2}$ をとり、$x=1$ で極大値 $\frac{1}{2}$ をとる。

また、$x=0, \pm \sqrt{3}$ で変曲点を持つ。

3. 最終的な答え

グラフの概形 (増減表を参照)