与えられた数列 $\frac{1}{3\cdot7}, \frac{1}{7\cdot11}, \frac{1}{11\cdot15}, \frac{1}{15\cdot19}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{1}{3\cdot7}, \frac{1}{7\cdot11}, \frac{1}{11\cdot15}, \frac{1}{15\cdot19}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

この数列の一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ と表せます。

部分分数分解を使って、 $a_k$ を次のように変形します。

$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}$

両辺に $(4k-1)(4k+3)$ をかけると、

$1 = A(4k+3) + B(4k-1)$

$k = \frac{1}{4}$ を代入すると、$1 = A(1+3) + B(0)$ なので $A = \frac{1}{4}$

$k = -\frac{3}{4}$ を代入すると、$1 = A(0) + B(-3-1)$ なので $B = -\frac{1}{4}$

したがって、

$a_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{15}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3 - 3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{3(4n+3)} \right) = \frac{n}{3(4n+3)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{3(4n+3)}$

よって、答えは ③ です。