次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6 \sin x} dx$ また、答えは $\frac{1}{ア} \log | \frac{イ - \sin x}{ウ - \sin x} | + C$ という形式で与えられる。ア、イ、ウの値を求める。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6 \sin x} dx$

また、答えは

$\frac{1}{ア} \log | \frac{イ - \sin x}{ウ - \sin x} | + C$

という形式で与えられる。ア、イ、ウの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ を用いて積分を書き換える。

$\int \frac{\cos x}{5 - (1 - 2 \sin^2 x) - 6 \sin x} dx = \int \frac{\cos x}{4 + 2 \sin^2 x - 6 \sin x} dx$

次に、$\sin x = t$ と置換すると、$\cos x dx = dt$ となる。

$\int \frac{1}{2t^2 - 6t + 4} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 - 3t + 2} dt$

さらに、分母を因数分解する。

$t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{(t - 1)(t - 2)} dt$

部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(t - 1)(t - 2)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t - 2}$

$1 = A(t - 2) + B(t - 1)$

$t = 1$ のとき、$1 = A(1 - 2) + B(0) \implies A = -1$

$t = 2$ のとき、$1 = A(0) + B(2 - 1) \implies B = 1$

$\frac{1}{2} \int (\frac{-1}{t - 1} + \frac{1}{t - 2}) dt = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{t - 2} - \frac{1}{t - 1}) dt$

$= \frac{1}{2} (\log |t - 2| - \log |t - 1|) + C = \frac{1}{2} \log | \frac{t - 2}{t - 1} | + C$

$t = \sin x$ を代入する。

$\frac{1}{2} \log | \frac{\sin x - 2}{\sin x - 1} | + C = \frac{1}{2} \log | \frac{2 - \sin x}{1 - \sin x} | + C$

したがって、ア = 2, イ = 2, ウ = 1

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 1