$y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

解析学微分三角関数積の微分合成関数の微分加法定理
2025/7/26

1. 問題の内容

y=sinxcos2xy = \sin x \cos 2x を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv' を用いる。
ここで u=sinxu = \sin x, v=cos2xv = \cos 2x とおく。
u=(sinx)=cosxu' = (\sin x)' = \cos x
v=(cos2x)=2sin2xv' = (\cos 2x)' = -2\sin 2x
したがって、
y=(sinxcos2x)=(sinx)cos2x+sinx(cos2x)y' = (\sin x \cos 2x)' = (\sin x)' \cos 2x + \sin x (\cos 2x)'
=cosxcos2x+sinx(2sin2x)= \cos x \cos 2x + \sin x (-2\sin 2x)
=cosxcos2x2sinxsin2x= \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x
ここで、sin2x=2sinxcosx\sin 2x = 2\sin x \cos x, cos2x=cos2xsin2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x を用いると、
y=cosx(cos2xsin2x)2sinx(2sinxcosx)y' = \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) - 2\sin x (2\sin x \cos x)
=cos3xsin2xcosx4sin2xcosx= \cos^3 x - \sin^2 x \cos x - 4\sin^2 x \cos x
=cos3x5sin2xcosx= \cos^3 x - 5\sin^2 x \cos x
=cos3x5(1cos2x)cosx= \cos^3 x - 5(1-\cos^2 x)\cos x
=cos3x5cosx+5cos3x= \cos^3 x - 5\cos x + 5\cos^3 x
=6cos3x5cosx= 6\cos^3 x - 5\cos x
=cosx(6cos2x5)= \cos x(6\cos^2 x - 5)
また、y=cosxcos2x2sinxsin2xy' = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x に対して、和積の公式を用いることもできる。
cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]
sinαsinβ=12[cos(αβ)cos(α+β)]\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]
を用いると、
cosxcos2x=12(cos3x+cos(x))=12(cos3x+cosx)\cos x \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos(-x)) = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x)
sinxsin2x=12(cosxcos3x)\sin x \sin 2x = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x)
したがって、
y=12(cos3x+cosx)212(cosxcos3x)y' = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x) - 2\frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x)
=12cos3x+12cosxcosx+cos3x= \frac{1}{2} \cos 3x + \frac{1}{2} \cos x - \cos x + \cos 3x
=32cos3x12cosx= \frac{3}{2} \cos 3x - \frac{1}{2} \cos x
=12(3cos3xcosx)= \frac{1}{2} (3\cos 3x - \cos x)
=12[3(4cos3x3cosx)cosx]= \frac{1}{2} [3(4\cos^3 x - 3\cos x) - \cos x]
=12(12cos3x9cosxcosx)= \frac{1}{2} (12\cos^3 x - 9\cos x - \cos x)
=12(12cos3x10cosx)= \frac{1}{2} (12\cos^3 x - 10\cos x)
=6cos3x5cosx= 6\cos^3 x - 5\cos x

3. 最終的な答え

y=6cos3x5cosxy' = 6\cos^3 x - 5\cos x