関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分してください。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$を微分するために、合成関数の微分法（チェインルール）を使用します。まず、$u = 3x + \frac{\pi}{5}$、そして $v = \sin u$ と置くと、$y = v^2$となります。

チェインルールは $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ で与えられます。

まず、$\frac{dy}{dv}$を計算します。$y = v^2$ なので、

$\frac{dy}{dv} = 2v$

次に、$\frac{dv}{du}$を計算します。$v = \sin u$ なので、

$\frac{dv}{du} = \cos u$

最後に、$\frac{du}{dx}$を計算します。$u = 3x + \frac{\pi}{5}$ なので、

$\frac{du}{dx} = 3$

これらの結果をチェインルールに代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 2v \cdot \cos u \cdot 3 = 6v \cos u$

$v = \sin u$ および $u = 3x + \frac{\pi}{5}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 6 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

ここで、三角関数の公式 $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ を使用すると、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 3 \sin(2(3x + \frac{\pi}{5}))$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin(6x + \frac{2\pi}{5})$

3. 最終的な答え

$3\sin(6x + \frac{2\pi}{5})$