関数 $y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ について微分します。

合成関数の微分を行う必要があります。

$y = \sqrt{u}$ とおくと、$u = 1 + \sin{x}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\sqrt{u}) = \frac{d}{du} (u^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1 + \sin{x}) = \cos{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos{x} = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{1 + \sin{x}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{1 + \sin{x}}}$