関数 $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \cos x$ を変形することを考えます。

$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ であるから、$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$と書き換えられます。

したがって、

$y = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)} = 2 \csc(2x)$

ここで、$\csc x$ の微分は $-\csc x \cot x$ であることを利用します。

合成関数の微分公式を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-\csc(2x) \cot(2x)) \cdot 2 = -4 \csc(2x) \cot(2x)$

$\csc(2x) = \frac{1}{\sin(2x)} = \frac{1}{2 \sin x \cos x}$

$\cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2 \sin x \cos x}$

であるから、

$\frac{dy}{dx} = -4 \cdot \frac{1}{2\sin x \cos x} \cdot \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2 \sin x \cos x} = - \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$

$= - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = - \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \csc^2 x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x - \csc^2 x$

または

$\frac{dy}{dx} = -4 \csc(2x) \cot(2x)$

または

$\frac{dy}{dx} = - \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$