関数 $y = \log(1 + e^x)$ を微分せよ。ここで $\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(1 + e^x)$ を微分せよ。ここで $\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$y = \log(u)$ と $u = 1 + e^x$ のように考えます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

まず、$y = \log(u)$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

次に、$u = 1 + e^x$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = e^x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot e^x = \frac{e^x}{1 + e^x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1 + e^x}$