関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。ここで、$u=x$、$v=e^{-2x}$とします。

まず、$u=x$を微分します。

$$$$

u' = \frac{d}{dx}(x) = 1

$$$$

次に、$v=e^{-2x}$を微分します。これは合成関数の微分になるので、$w = -2x$ とおくと、$v = e^w$となります。

$$$$

\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}

$$$$

$$$$

\frac{dv}{dw} = \frac{d}{dw}(e^w) = e^w

$$$$

$$$$

\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(-2x) = -2

$$$$

したがって、

$$$$

v' = \frac{dv}{dx} = e^w \cdot (-2) = -2e^{-2x}

$$$$

積の微分公式にこれらの結果を代入します。

$$$$

y' = u'v + uv' = (1)(e^{-2x}) + (x)(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x}

$$$$

$e^{-2x}$で括ると、

$$$$

y' = e^{-2x}(1-2x)

$$$$

3. 最終的な答え

$y' = e^{-2x}(1-2x)$