(2) $\sin \theta + \cos 2\theta \geq 1$ (ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$) (3) $\sin 2\theta + \sin \theta + 2\cos \theta + 1 \geq 0$ (ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$)

1. 問題の内容

(2) $\sin \theta + \cos 2\theta \geq 1$ (ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$)

(3) $\sin 2\theta + \sin \theta + 2\cos \theta + 1 \geq 0$ (ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$)

2. 解き方の手順

(2)

$\sin \theta + \cos 2\theta \geq 1$

$\sin \theta + 1 - 2\sin^2 \theta \geq 1$

$\sin \theta - 2\sin^2 \theta \geq 0$

$\sin \theta (1 - 2\sin \theta) \geq 0$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考える。

$\sin \theta \geq 0$ かつ $1 - 2\sin \theta \geq 0$ のとき、または $\sin \theta \leq 0$ かつ $1 - 2\sin \theta \leq 0$ のとき。

ケース1: $\sin \theta \geq 0$ かつ $1 - 2\sin \theta \geq 0$

$\sin \theta \geq 0$ かつ $\sin \theta \leq \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ かつ $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \pi$

よって、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \pi$

ケース2: $\sin \theta \leq 0$ かつ $1 - 2\sin \theta \leq 0$

$\sin \theta \leq 0$ かつ $\sin \theta \geq \frac{1}{2}$

これはありえない。

したがって、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \pi$

(3)

$\sin 2\theta + \sin \theta + 2\cos \theta + 1 \geq 0$

$2\sin \theta \cos \theta + \sin \theta + 2\cos \theta + 1 \geq 0$

$\sin \theta (2\cos \theta + 1) + (2\cos \theta + 1) \geq 0$

$(\sin \theta + 1)(2\cos \theta + 1) \geq 0$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考える。

$\sin \theta + 1 \geq 0$ かつ $2\cos \theta + 1 \geq 0$ のとき、または $\sin \theta + 1 \leq 0$ かつ $2\cos \theta + 1 \leq 0$ のとき。

ケース1: $\sin \theta + 1 \geq 0$ かつ $2\cos \theta + 1 \geq 0$

$\sin \theta \geq -1$ かつ $\cos \theta \geq -\frac{1}{2}$

常に$\sin \theta \geq -1$ なので、$0 \leq \theta < 2\pi$ かつ $\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$

ケース2: $\sin \theta + 1 \leq 0$ かつ $2\cos \theta + 1 \leq 0$

$\sin \theta \leq -1$ かつ $\cos \theta \leq -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = -1$ のときのみ。$\theta = \frac{3\pi}{2}$。

$\cos \frac{3\pi}{2} = 0$ なので、$0 \leq -\frac{1}{2}$ は成立しない。

$\sin \theta = -1$ のとき、$(\sin \theta + 1)(2\cos \theta + 1) = (0)(1) = 0 \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$ または $\theta = \frac{3\pi}{2}$。ただし$\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$に$\theta = \frac{3\pi}{2}$ は含まれる。

よって、$\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(2) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \leq \theta \leq \pi$

(3) $\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4\pi}{3}$