$y = \sin x \cos 2x$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \sin x \cos 2x$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いて微分します。

$u = \sin x$ と $v = \cos 2x$ とすると、

$u' = \cos x$

$v' = -2 \sin 2x$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)' \cos 2x + \sin x (\cos 2x)'$$

$$= \cos x \cos 2x + \sin x (-2 \sin 2x)$$

$$= \cos x \cos 2x - 2 \sin x \sin 2x$$

ここで、三角関数の倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、

$$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2 \sin x (2 \sin x \cos x)$$

$$= \cos x \cos 2x - 4 \sin^2 x \cos x$$

$$= \cos x (\cos 2x - 4 \sin^2 x)$$

さらに、三角関数の2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ を用いると、

$$\frac{dy}{dx} = \cos x (1 - 2 \sin^2 x - 4 \sin^2 x)$$

$$= \cos x (1 - 6 \sin^2 x)$$

または、$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ を用いると、

$$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 4 \sin^2 x \cos x$$

$$= \cos x (2 \cos^2 x - 1) - 4 (1 - \cos^2 x) \cos x$$

$$= 2 \cos^3 x - \cos x - 4 \cos x + 4 \cos^3 x$$

$$= 6 \cos^3 x - 5 \cos x$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos x (1 - 6 \sin^2 x) = 6 \cos^3 x - 5 \cos x$