不定積分 $\int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ を計算し、与えられた形式 $\log \left| \frac{\text{ア}\cos x - \text{イ}}{\cos x - \text{ウ}} \right| + C$ で答えよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ を計算し、与えられた形式 $\log \left| \frac{\text{ア}\cos x - \text{イ}}{\cos x - \text{ウ}} \right| + C$ で答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて積分を書き換えます。

$\int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2(1 - \cos^2 x)} dx = \int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2 + 2\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1} dx$

次に、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。したがって、

$\int \frac{\sin x}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1} dx = -\int \frac{1}{2u^2 - 3u + 1} du$

分母を因数分解すると、$2u^2 - 3u + 1 = (2u - 1)(u - 1)$ となります。

したがって、

$-\int \frac{1}{(2u - 1)(u - 1)} du$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{(2u - 1)(u - 1)} = \frac{A}{2u - 1} + \frac{B}{u - 1}$ とすると、

$1 = A(u - 1) + B(2u - 1)$

$u = 1$ のとき、$1 = B(2(1) - 1) = B \implies B = 1$

$u = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(\frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2}A \implies A = -2$

よって、$\frac{1}{(2u - 1)(u - 1)} = \frac{-2}{2u - 1} + \frac{1}{u - 1}$

$-\int \frac{1}{(2u - 1)(u - 1)} du = -\int (\frac{-2}{2u - 1} + \frac{1}{u - 1}) du = \int \frac{2}{2u - 1} du - \int \frac{1}{u - 1} du = \ln|2u - 1| - \ln|u - 1| + C$

$=\ln|2\cos x - 1| - \ln|\cos x - 1| + C = \ln|\frac{2\cos x - 1}{\cos x - 1}| + C$

したがって、アは2、イは1、ウは1です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 1