(1) 関数 $y = \frac{\sin^2 x}{x^2}$ を微分せよ。 (2) 定積分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{\sin^2 x}{x^2}$ を微分せよ。

(2) 定積分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{\sin^2 x}{x^2}$ を微分する。

積の微分公式、商の微分公式を利用する。

まず、$\sin^2 x$ の微分を求める。

$(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$

次に、$\frac{\sin^2 x}{x^2}$ を微分する。

$(\frac{\sin^2 x}{x^2})' = \frac{(\sin^2 x)' \cdot x^2 - \sin^2 x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$

$= \frac{2\sin x \cos x \cdot x^2 - \sin^2 x \cdot 2x}{x^4}$

$= \frac{2x\sin x \cos x - 2\sin^2 x}{x^3}$

$= \frac{2\sin x (x\cos x - \sin x)}{x^3}$

(2)

定積分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} dx$ を求める。

$(\frac{\sin x}{x^2})' = \frac{\cos x \cdot x^2 - \sin x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x\cos x - 2\sin x}{x^3}$

$(\frac{\sin x}{x})' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

$\int \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} dx = \int \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^4} \cdot \frac{1}{x} dx$

$(\frac{\sin x}{x})' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

$(\frac{\sin x}{x})'' = \frac{(\cos x - x\sin x - \cos x)x^2 - (x\cos x - \sin x)2x}{x^4} = \frac{-x^3\sin x - 2x^2\cos x + 2x\sin x}{x^4} = \frac{-x^2\sin x - 2x\cos x + 2\sin x}{x^3}$

$(\frac{\sin x}{x})' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

$(\frac{\sin x}{x^2})' = \frac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4} = \frac{x\cos x - 2\sin x}{x^3}$

$\frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} = \frac{\sin^2 x - 2x\sin x \cos x + x^2\cos^2 x}{x^5}$

部分積分を行う。

$(\frac{1}{2} (\frac{\sin x}{x^2})^2)' = \frac{2 \sin x}{2x^2} \cdot \frac{x\cos x - 2\sin x}{x^3} = \frac{\sin x (x\cos x - 2\sin x)}{x^5}$

$(\frac{1}{2} (\frac{\sin x}{x})^2)' = \frac{2 \sin x}{2x} \cdot \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\sin x (x\cos x - \sin x)}{x^3}$

$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\frac{\sin^2 x - 2x\sin x \cos x + x^2 \cos^2 x}{x^5}) dx = [-\frac{1}{4} (\frac{\sin x}{x^2})^2]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = [-\frac{(\frac{\sin x}{x})^2}{4x^2}]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$= [-\frac{1}{4} (\frac{\sin x}{x^2})^2]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$I = [-\frac{1}{2} \frac{(\sin x - x\cos x)\sin x}{x^4}]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = [-\frac{(\sin x - x\cos x) \sin x}{2x^4}]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$[-\frac{1}{4}\frac{(\sin x - x\cos x)\sin x}{x^4} ]_{\frac{\pi}{2}}^\pi = [ \frac{\sin x (\sin x - x\cos x)}{2x^4}]_{\pi/2}^\pi = -[-\frac{\sin^2x}{4x^4} + \frac{\sin x\cos x}{2x^3}]_{\pi/2}^\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sin x (x\cos x - \sin x)}{x^3}$

(2) $\frac{4}{\pi^4} - \frac{1}{3\pi^4}$

$\frac{1}{4}\frac{\sin^2 \frac{\pi}{2}}{(\pi/2)^4} = \frac{1}{4(\frac{\pi^4}{16})} = \frac{4}{\pi^4}$

$\frac{1}{4}\frac{\sin^2 \pi}{\pi^4} = 0$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{(\sin x - x\cos x)^2}{x^5} dx = -\frac{4}{\pi^4}$

$[ -\frac{(\sin x - x\cos x)\sin x}{2 x^4} ]_{\frac{\pi}{2}}^\pi = 0 - ( - \frac{1 \cdot 1}{2 (\frac{\pi}{2})^4}) = \frac{1}{2 \frac{\pi^4}{16}} = \frac{8}{\pi^4}$

$[ -\frac{(\sin x - x\cos x)\sin x}{2 x^4} ]_{\frac{\pi}{2}}^\pi$

$\frac{4-\pi}{2\pi}$