積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算する問題です。途中の積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の計算と、最終的な積分結果を求める必要があります。

1. 問題の内容

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算する問題です。途中の積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の計算と、最終的な積分結果を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。これは $\int x^{-\frac{1}{2}} dx$ と書き換えられます。

一般に、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）という公式が成り立ちます。

この公式を適用すると、

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

したがって、$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$ となります。

次に、$I = \int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算します。

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

先ほど計算したように、$\int u^{-\frac{1}{2}} du = 2\sqrt{u} + C$ なので、

$I = \frac{1}{2} (2\sqrt{u}) + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{2x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$ なので、⑦は $2\sqrt{x}$ です。

$I = \int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = \sqrt{2x+1} + C$ なので、⑧は $\sqrt{2x+1}$ です。