$\cos \theta + \sin \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ である。$\sin 2\theta$ と $\sin 4\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos \theta + \sin \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ である。$\sin 2\theta$ と $\sin 4\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\cos \theta + \sin \theta = \frac{4}{3}$ の両辺を2乗します。

$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = (\frac{4}{3})^2$

$\cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta = \frac{16}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{16}{9}$

ここで、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ であるから、

$1 + \sin 2\theta = \frac{16}{9}$

$\sin 2\theta = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$

次に、$\sin 4\theta$ を計算します。$\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta$ です。$\cos 2\theta$ を求める必要があります。

$\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$ であるから、

$\cos^2 2\theta = 1 - \sin^2 2\theta = 1 - (\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{32}{81}$

したがって、$\cos 2\theta = \pm \sqrt{\frac{32}{81}} = \pm \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ であるから、$0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ であり、$\cos 2\theta > 0$ なので、$\cos 2\theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta = 2 \times \frac{7}{9} \times \frac{4\sqrt{2}}{9} = \frac{56\sqrt{2}}{81}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\theta = \frac{7}{9}$

$\sin 4\theta = \frac{56\sqrt{2}}{81}$