関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ ($\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$) について考える。$t = \cos\theta$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲を求め、$y$を $t$ の式で表す。また、$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に2個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ ($\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$) について考える。$t = \cos\theta$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲を求め、$y$を $t$ の式で表す。また、$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に2個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos\theta$ の取りうる範囲を求める。$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ なので、

$-\frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$ である。

次に、$y$ を $t$ の式で表す。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - t^2$ より、

$y = -3(1 - t^2) + 3t + 5 = 3t^2 + 3t + 2$

最後に、$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に2個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

$3t^2 + 3t + 2 = k$ となる $t$ が $-\frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$ の範囲に２つ存在する場合を考える。

$3t^2 + 3t + 2 - k = 0$

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ でなければならない。

$D = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2 - k) = 9 - 24 + 12k = 12k - 15 > 0$

$12k > 15$ より $k > \frac{5}{4}$

$f(t) = 3t^2 + 3t + 2$ とおくと、

$f(t) = 3(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

$f(-\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}$

$f(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}$

軸は $t = -\frac{1}{2}$ なので、$-\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$ の範囲で$k$ の値が２つ存在するためには、

$\frac{5}{4} < k < \frac{17}{4}$

3. 最終的な答え

$t$ の取りうる範囲: $-\frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$

$y$ を $t$ で表した式: $y = 3t^2 + 3t + 2$

$k$ の取りうる範囲: $\frac{5}{4} < k < \frac{17}{4}$