関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる。ただし、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表す（ガウス記号）。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる。ただし、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表す（ガウス記号）。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件が満たされている必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = [0^3] = [0] = 0$

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するかどうかを調べます。

$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するためには、右側極限と左側極限が存在し、それらが一致する必要があります。

右側極限：

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} [x^3]$

$x$ が正の方向から0に近づくとき、$x^3$ も正の方向から0に近づきます。したがって、$x^3$ は0よりわずかに大きい正の数になります。

$0 < x^3 < 1$ より、$[x^3] = 0$

$\lim_{x \to 0^+} [x^3] = 0$

左側極限：

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} [x^3]$

$x$ が負の方向から0に近づくとき、$x^3$ も負の方向から0に近づきます。したがって、$x^3$ は0よりわずかに小さい負の数になります。

$-1 < x^3 < 0$ より、$[x^3] = -1$

$\lim_{x \to 0^-} [x^3] = -1$

右側極限と左側極限が一致しないため、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

最後に、$f(0)$ と $\lim_{x \to 0} f(x)$ を比較します。

$f(0) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しないため、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ は成り立ちません。

したがって、$f(x) = [x^3]$ は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x=0$ で連続ではない。