関数 $f(x) = |\sin x|$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |\sin x|$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = |\sin 0| = |0| = 0$

したがって、$f(0)$ は定義されており、$f(0) = 0$ です。

次に、$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} |\sin x|$ が存在するかどうかを調べます。

$\lim_{x \to 0^+} |\sin x|$ と $\lim_{x \to 0^-} |\sin x|$ をそれぞれ計算します。

$\lim_{x \to 0^+} |\sin x|$ は、$x$ が正の方向から0に近づくときの $|\sin x|$ の極限です。$x$ が正で0に近いとき、$\sin x$ も正で0に近いので、$|\sin x| = \sin x$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0^+} |\sin x| = \lim_{x \to 0^+} \sin x = \sin 0 = 0$

$\lim_{x \to 0^-} |\sin x|$ は、$x$ が負の方向から0に近づくときの $|\sin x|$ の極限です。$x$ が負で0に近いとき、$\sin x$ も負で0に近いので、$|\sin x| = -\sin x$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0^-} |\sin x| = \lim_{x \to 0^-} -\sin x = -\sin 0 = 0$

$\lim_{x \to 0^+} |\sin x| = \lim_{x \to 0^-} |\sin x| = 0$ であるため、$\lim_{x \to 0} |\sin x|$ は存在し、

$\lim_{x \to 0} |\sin x| = 0$ となります。

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であるかどうかを確認します。

$\lim_{x \to 0} |\sin x| = 0$ であり、$f(0) = 0$ であるため、

$\lim_{x \to 0} |\sin x| = f(0)$ が成り立ちます。

したがって、$f(x) = |\sin x|$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = |\sin x|$ は $x=0$ で連続である。