関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} \sin x + a & (x \geq 0) \\ x^3 & (x < 0) \end{cases}$ $f(x)$ が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} \sin x + a & (x \geq 0) \\ x^3 & (x < 0) \end{cases}$

$f(x)$ が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続であるためには、$x=0$ で連続である必要があります。

$x=0$ で連続であるためには、左からの極限と右からの極限が一致し、その値が $f(0)$ と一致する必要があります。

まず、右からの極限を計算します。

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\sin x + a) = \sin 0 + a = 0 + a = a$

$f(0)$ の値は、$f(0) = \sin 0 + a = a$ となります。

次に、左からの極限を計算します。

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^3 = 0^3 = 0$

$x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ が成立する必要があります。

したがって、$a = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 0$