関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ （$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$）について、以下の問いに答える。 * $t = \cos\theta$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。 * $y$ を $t$ の式で表す。 * $-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に 2 個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

## 回答

1. 問題の内容

関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ （$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$）について、以下の問いに答える。

* $t = \cos\theta$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

* $y$ を $t$ の式で表す。

* $-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に 2 個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $t = \cos\theta$ の範囲について

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ より、$\cos\pi \le \cos\theta \le \cos\frac{\pi}{3}$。

よって、$-1 \le t \le \frac{1}{2}$。

(イ) $y$ を $t$ の式で表す

$y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ であり、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - t^2$ なので、

$y = -3(1 - t^2) + 3t + 5 = 3t^2 + 3t + 2$。

(ウ) $-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に 2 個あるときの $k$ の範囲

$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ は、$3t^2 + 3t + 2 = k$ と書き換えられる。

$t = \cos\theta$ であり、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲で $\theta$ が 2 個存在するということは、$t = \cos\theta$ が、$-1 \le t < \frac{1}{2}$ の範囲に 1 個存在することである。

（$t = \frac{1}{2}$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ で1つだけ。）

$y = 3t^2 + 3t + 2$ を平方完成すると、$y = 3(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$。

したがって、放物線 $y = 3t^2 + 3t + 2$ は、頂点が $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$ で、軸が $t = -\frac{1}{2}$ の下に凸な放物線である。

$t = -1$ のとき、$y = 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 3 - 3 + 2 = 2$。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y = 3(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{3 + 6 + 8}{4} = \frac{17}{4}$。

したがって、$3t^2 + 3t + 2 = k$ が $-1 \le t < \frac{1}{2}$ に解を持つためには、$\frac{5}{4} \le k < \frac{17}{4}$ かつ $k \ne 2$でなければならない。

軸 $t = -\frac{1}{2}$ が $-1 \le t < \frac{1}{2}$ の範囲にあり、この範囲で $k$ の値が2つある必要があるので $t = \frac{1}{2}$のとき（$k = \frac{17}{4}$）は除く。

一方 $t = -1$ のとき $k = 2$ なので $\frac{5}{4} \le k < 2$ または $2 < k < \frac{17}{4}$。

3. 最終的な答え

ア: $-1 \le t \le \frac{1}{2}$

イ: $y = 3t^2 + 3t + 2$

ウ: $\frac{5}{4} \le k < \frac{17}{4}$