与えられた関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x + \sqrt{2 - x^2}$ (2) $y = x^3 + \frac{8}{x^3}$ (ただし $1 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x + \sqrt{2 - x^2}$

(2) $y = x^3 + \frac{8}{x^3}$ (ただし $1 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x + \sqrt{2 - x^2}$ について

まず、定義域を調べます。根号の中身が0以上になる必要があるので、$2 - x^2 \ge 0$。

これから $x^2 \le 2$となり、$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$です。

次に、微分して増減を調べます。

$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2-x^2}}(-2x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 = \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$\sqrt{2-x^2} = x$

両辺を2乗して $2 - x^2 = x^2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

定義域を考慮して、$x = 1$のみが解となります。

増減表を作成します。

| x | $-\sqrt{2}$ | ... | 1 | ... | $\sqrt{2}$ |

|---|---|---|---|---|---|

| dy/dx | | - | 0 | + | |

| y | $-\sqrt{2}$ | $\searrow$ | 2 | $\nearrow$ | $\sqrt{2}$ |

したがって、$x = 1$ のとき極小値かつ最小値 $y = 2$ をとります。

また、$x = -\sqrt{2}$ のとき $y = -\sqrt{2}$ 、$x = \sqrt{2}$ のとき $y = \sqrt{2}$です。

したがって、最大値は$y = 2$ ($x=1$のとき)であり、最小値は$y = -\sqrt{2}$ ($x=-\sqrt{2}$のとき)です。

(2) $y = x^3 + \frac{8}{x^3}$ (ただし $1 \le x \le 2$) について

まず、微分して増減を調べます。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - \frac{24}{x^4} = 3(x^2 - \frac{8}{x^4})$

$= \frac{3(x^6 - 8)}{x^4}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^6 = 8$

$x = \sqrt[6]{8} = \sqrt{2}$

$1 \le x \le 2$ の範囲なので、この値は範囲に含まれます。

増減表を作成します。

| x | 1 | ... | $\sqrt{2}$ | ... | 2 |

|---|---|---|---|---|---|

| dy/dx | - | - | 0 | + | + |

| y | 9 | $\searrow$ | $4\sqrt{2}$ | $\nearrow$ | 9 |

したがって、$x = \sqrt{2}$ のとき極小値かつ最小値 $y = 2\sqrt{2} + \frac{8}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ をとります。

また、$x = 1$ のとき $y = 1 + 8 = 9$、$x = 2$ のとき $y = 8 + 1 = 9$です。

したがって、最大値は $y = 9$ ($x=1, 2$のとき)であり、最小値は $y = 4\sqrt{2}$ ($x=\sqrt{2}$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$ ($x=1$)、最小値: $-\sqrt{2}$ ($x=-\sqrt{2}$)

(2) 最大値: $9$ ($x=1, 2$)、最小値: $4\sqrt{2}$ ($x=\sqrt{2}$)