次の2つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx$ (2) $\int_{-1}^{2} |x(x-1)| dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx$

(2) $\int_{-1}^{2} |x(x-1)| dx$

2. 解き方の手順

(1)

絶対値の中身である $x^2 - x - 2$ の符号が変わる区間を調べます。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ なので、$x = -1$ と $x = 2$ で符号が変わります。

積分区間 $[0, 3]$ では、$0 \le x < 2$ で $x^2 - x - 2 < 0$ であり、$2 < x \le 3$ で $x^2 - x - 2 > 0$ です。

したがって、積分を分割して計算します。

$\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx = \int_{0}^{2} -(x^2 - x - 2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x - 2) dx$

$= \int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x - 2) dx$

$= [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{0}^{2} + [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{3}$

$= (-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 - 0) + (\frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 6) - (\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4)$

$= (-\frac{8}{3} + 2 + 4) + (9 - \frac{9}{2} - 6) - (\frac{8}{3} - 2 - 4)$

$= 6 - \frac{8}{3} + 3 - \frac{9}{2} - \frac{8}{3} + 6$

$= 15 - \frac{16}{3} - \frac{9}{2} = 15 - \frac{32}{6} - \frac{27}{6} = 15 - \frac{59}{6} = \frac{90 - 59}{6} = \frac{31}{6}$

(2)

絶対値の中身である $x(x-1)$ の符号が変わる区間を調べます。

$x(x-1)$ は、$x = 0$ と $x = 1$ で符号が変わります。

積分区間 $[-1, 2]$ では、$-1 \le x < 0$ で $x(x-1) > 0$、$0 < x < 1$ で $x(x-1) < 0$、$1 < x \le 2$ で $x(x-1) > 0$ です。

したがって、積分を分割して計算します。

$\int_{-1}^{2} |x(x-1)| dx = \int_{-1}^{0} x(x-1) dx + \int_{0}^{1} -x(x-1) dx + \int_{1}^{2} x(x-1) dx$

$= \int_{-1}^{0} (x^2 - x) dx + \int_{0}^{1} (-x^2 + x) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x) dx$

$= [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} + [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2}$

$= (0 - (\frac{-1}{3} - \frac{1}{2})) + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 0) + (\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}))$

$= (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) + (\frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

$= \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{7}{3} - 2 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{14}{6} - \frac{12}{6} + \frac{3}{6} = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{31}{6}$

(2) $\frac{11}{6}$