関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ について、$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ の範囲で考える。 $t = \cos\theta$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲と、$y$ を $t$ の式で表す。 さらに、$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ の範囲に2個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ について、$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ の範囲で考える。

$t = \cos\theta$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲と、$y$ を $t$ の式で表す。

さらに、$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ の範囲に2個あるとき、$k$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

$\theta$ の範囲が $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ なので、$t = \cos\theta$ の範囲は $-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$。

(2) $y$ を $t$ の式で表す。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - t^2$ より、

$y = -3(1-t^2) + 3t + 5 = -3 + 3t^2 + 3t + 5 = 3t^2 + 3t + 2$。

(3) $-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ の範囲に2個あるときの $k$ の範囲を求める。

$y = 3t^2 + 3t + 2 = k$ より、$3t^2 + 3t + (2-k) = 0$。

$t = \cos\theta$ であるから、$-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$ の範囲に異なる2つの解を持つ条件を考える。

$f(t) = 3t^2 + 3t + 2$ とおくと、$f(t) = 3(t^2 + t) + 2 = 3(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} + 2 = 3(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$。

これは下に凸な放物線で、軸は $t = -\frac{1}{2}$。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = k = \frac{5}{4}$。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y = k = 3(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{3+6+8}{4} = \frac{17}{4}$。

$t = \cos\theta$ が $\theta$ と一対一に対応するのは $-\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$ のとき。

$t = -\frac{1}{2}$ または $t = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta$ は一つに定まる。

$k = 3t^2 + 3t + 2$ について、$-\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$ の範囲に2つの解を持つ条件は、

$\frac{5}{4} < k \leq \frac{17}{4}$。

3. 最終的な答え

$t$ のとりうる値の範囲: $-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$

$y$ を $t$ の式で表すと: $y = 3t^2 + 3t + 2$

$k$ のとりうる値の範囲: $\frac{5}{4} < k \leq \frac{17}{4}$