問題は3つあります。 (1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ で交わるとき、これらの曲線で囲まれた図形の面積が $\frac{9}{2}$ であるときの $a$ の値を求める。ただし、$\alpha < \beta$ である。 (2) 点 $(1, 3)$ を通る傾き $m$ の直線と放物線 $y = x^2$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、$S$ を最小にする $m$ の値を求める。 (3) 放物線 $y = -x(x - 6)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を直線 $y = mx$ が2等分するとき、定数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ で交わるとき、これらの曲線で囲まれた図形の面積が $\frac{9}{2}$ であるときの $a$ の値を求める。ただし、$\alpha < \beta$ である。

(2) 点 $(1, 3)$ を通る傾き $m$ の直線と放物線 $y = x^2$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、$S$ を最小にする $m$ の値を求める。

(3) 放物線 $y = -x(x - 6)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を直線 $y = mx$ が2等分するとき、定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 = 2x + a$

$x^2 - 2x - a = 0$

この2つの解が $\alpha$ と $\beta$ なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = -a$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta} = \sqrt{4 + 4a} = 2\sqrt{1+a}$

囲まれた面積は

$S = \int_\alpha^\beta (2x + a - x^2) dx = \left[x^2 + ax - \frac{x^3}{3}\right]_\alpha^\beta = (\beta^2 - \alpha^2) + a(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3)$

$= (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) + a(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2)$

$= (\beta - \alpha)[(\alpha + \beta) + a - \frac{1}{3}((\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta)]$

$= 2\sqrt{1+a} [2 + a - \frac{1}{3}(4 + a)]$

$= 2\sqrt{1+a} [2 + a - \frac{4}{3} - \frac{a}{3}] = 2\sqrt{1+a} [\frac{2}{3}a + \frac{2}{3}] = \frac{4}{3}(1+a)^{3/2}$

与えられた条件より $S = \frac{9}{2}$ なので

$\frac{4}{3}(1+a)^{3/2} = \frac{9}{2}$

$(1+a)^{3/2} = \frac{27}{8}$

$1+a = (\frac{27}{8})^{2/3} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

$a = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

(2)

点 $(1, 3)$ を通る直線の方程式は $y - 3 = m(x - 1)$ より $y = mx - m + 3$

$x^2 = mx - m + 3$

$x^2 - mx + m - 3 = 0$

2つの解を $\alpha, \beta$ とすると

$\alpha + \beta = m$

$\alpha \beta = m - 3$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta} = \sqrt{m^2 - 4(m - 3)} = \sqrt{m^2 - 4m + 12} = \sqrt{(m - 2)^2 + 8}$

面積 $S = \int_\alpha^\beta (mx - m + 3 - x^2) dx = \left[\frac{mx^2}{2} - (m-3)x - \frac{x^3}{3}\right]_\alpha^\beta$

$= \frac{m}{2}(\beta^2 - \alpha^2) - (m - 3)(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3)$

$= (\beta - \alpha)[\frac{m}{2}(\alpha + \beta) - (m - 3) - \frac{1}{3}(\beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2)]$

$= (\beta - \alpha)[\frac{m^2}{2} - (m - 3) - \frac{1}{3}((\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta)]$

$= (\beta - \alpha)[\frac{m^2}{2} - (m - 3) - \frac{1}{3}(m^2 - (m - 3))]$

$= (\beta - \alpha)[\frac{m^2}{2} - m + 3 - \frac{1}{3}m^2 + \frac{1}{3}m - 1] = (\beta - \alpha)[\frac{1}{6}m^2 - \frac{2}{3}m + 2]$

$= \sqrt{(m - 2)^2 + 8}[\frac{1}{6}m^2 - \frac{2}{3}m + 2] = \sqrt{(m - 2)^2 + 8}[\frac{1}{6}(m^2 - 4m + 12)]$

$= \frac{1}{6}\sqrt{(m - 2)^2 + 8}[(m - 2)^2 + 8]$

$S = \frac{1}{6}((m - 2)^2 + 8)^{3/2}$

$S$ が最小になるのは $m = 2$ のとき。

(3)

$y = -x(x - 6) = -x^2 + 6x$ と $x$ 軸で囲まれた面積は $\int_0^6 (-x^2 + 6x) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2\right]_0^6 = -\frac{216}{3} + 3(36) = -72 + 108 = 36$

直線 $y = mx$ によって面積が2等分されるので、$\int_0^6 (-x^2 + 6x - mx) dx = \frac{36}{2} = 18$

$\int_0^6 (-x^2 + (6 - m)x) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{(6-m)x^2}{2}\right]_0^6 = -\frac{216}{3} + \frac{(6-m)36}{2} = -72 + 18(6-m) = -72 + 108 - 18m = 36 - 18m$

$36 - 18m = 18$

$18m = 18$

$m = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{5}{4}$

(2) $m = 2$

(3) $m = 1$