関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\cos x$ の式で表す。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$y = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x$

$y = 2\cos^2 x + 2\cos x - 1$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、$0 \le x \le 2\pi$ より $-1 \le t \le 1$。

$y = 2t^2 + 2t - 1$

$y = 2(t^2 + t) - 1$

$y = 2(t^2 + t + \frac{1}{4}) - 2 \cdot \frac{1}{4} - 1$

$y = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1$

$y = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

$-1 \le t \le 1$ の範囲で $y$ の最小値を求める。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、 $y$ は最小値 $-\frac{3}{2}$ をとる。

このとき、$\cos x = -\frac{1}{2}$ であるから、 $x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ である。

3. 最終的な答え

最小値は $-\frac{3}{2}$ であり、そのときの $x$ の値は $x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ である。