関数 $y = \cos 2\theta - 6\cos \theta + 8$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。選択肢から適切な答えを選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2\theta - 6\cos \theta + 8$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。選択肢から適切な答えを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表す。

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

したがって、与えられた関数は

$y = 2\cos^2 \theta - 1 - 6\cos \theta + 8 = 2\cos^2 \theta - 6\cos \theta + 7$

ここで、$t = \cos \theta$ と置くと、$-1 \le t \le 1$ であり、関数は

$y = 2t^2 - 6t + 7 = 2(t^2 - 3t) + 7 = 2(t - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) + 7 = 2(t - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{14}{2} = 2(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{2}$

この関数は、$t = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $\frac{5}{2}$ をとる。しかし、$-1 \le t \le 1$ なので、$t = \frac{3}{2}$ は範囲外である。

$t$ の範囲 $-1 \le t \le 1$ で、$y$ は下に凸の2次関数であり、軸は $t = \frac{3}{2}$ である。

したがって、$t = -1$ のとき最大値をとり、$t = 1$ のとき最小値をとる。

$t = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 - 6(-1) + 7 = 2 + 6 + 7 = 15$

$t = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 - 6(1) + 7 = 2 - 6 + 7 = 3$

$\cos \theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$ である。

$\cos \theta = 1$ のとき、$\theta = 0$ である。

したがって、$\theta = \pi$ のとき、最大値 $15$ をとる。

$\theta = 0$ のとき、最小値 $3$ をとる。

3. 最終的な答え

$\theta = 6 (\pi)$ のとき 最大値 $6 (15)$

$\theta = 1 (0)$ のとき 最小値 $2 (3)$