次の不定積分を求め、与えられた形式で答えを埋める問題です。 $$ \int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6 \sin x} dx $$ ただし、答えの形式は $$ \frac{1}{ア} \log \left| \frac{イ - \sin x}{ウ - \sin x} \right| + C $$ となっています。

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、与えられた形式で答えを埋める問題です。

$$\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6 \sin x} dx$$

ただし、答えの形式は

$$\frac{1}{ア} \log \left| \frac{イ - \sin x}{ウ - \sin x} \right| + C$$

となっています。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x$ を $\sin x$ で表します。

$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ なので、積分は次のようになります。

$$\int \frac{\cos x}{5 - (1 - 2 \sin^2 x) - 6 \sin x} dx = \int \frac{\cos x}{4 + 2 \sin^2 x - 6 \sin x} dx$$

ここで、$t = \sin x$ と置換すると、$dt = \cos x dx$ となります。よって、積分は

$$\int \frac{1}{2t^2 - 6t + 4} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 - 3t + 2} dt$$

さらに、分母を因数分解すると、

$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{(t-1)(t-2)} dt$$

部分分数分解を行います。

$$\frac{1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2}$$

$1 = A(t-2) + B(t-1)$

$t = 1$ のとき、$1 = -A$ より $A = -1$

$t = 2$ のとき、$1 = B$ より $B = 1$

したがって、

$$\frac{1}{2} \int \left( \frac{-1}{t-1} + \frac{1}{t-2} \right) dt = \frac{1}{2} \left( - \log |t-1| + \log |t-2| \right) + C$$

$$= \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-2}{t-1} \right| + C$$

$t = \sin x$ を代入して

$$\frac{1}{2} \log \left| \frac{\sin x - 2}{\sin x - 1} \right| + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{2 - \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$$

したがって、

ア = 2

イ = 2

ウ = 1

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 1