$\int (2x - 1) \cos x \, dx$ を計算する。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$\int (2x - 1) \cos x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分の公式は $\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$ です。

$u = 2x - 1$ と $v' = \cos x$ とおくと、$u' = 2$、$v = \sin x$ となります。

したがって、

$$\int (2x - 1) \cos x \, dx = (2x - 1) \sin x - \int 2 \sin x \, dx$$

$$= (2x - 1) \sin x - 2 \int \sin x \, dx$$

$$= (2x - 1) \sin x - 2 (-\cos x) + C$$

$$= (2x - 1) \sin x + 2 \cos x + C$$

3. 最終的な答え

$(2x - 1) \sin x + 2 \cos x + C$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$\int (x + 1) (x - 3)^5 \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

置換積分を使って解きます。$t = x - 3$ とおくと、$x = t + 3$、$dx = dt$ となります。

また、$x + 1 = (t + 3) + 1 = t + 4$ となります。

したがって、

$$\int (x + 1) (x - 3)^5 \, dx = \int (t + 4) t^5 \, dt$$

$$= \int (t^6 + 4t^5) \, dt$$

$$= \int t^6 \, dt + 4 \int t^5 \, dt$$

$$= \frac{t^7}{7} + 4 \cdot \frac{t^6}{6} + C$$

$$= \frac{t^7}{7} + \frac{2t^6}{3} + C$$

$t = x - 3$ を代入して、

$$= \frac{(x - 3)^7}{7} + \frac{2(x - 3)^6}{3} + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{(x - 3)^7}{7} + \frac{2(x - 3)^6}{3} + C$