関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x^2 - 1)^{-1}$ と書き換えます。次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。チェーンルールは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

今回の問題では、$f(u) = u^{-1}$ と $g(x) = x^2 - 1$ と考えると、$y = f(g(x))$ となります。

まず、$f(u) = u^{-1}$ を $u$ で微分します。

$\frac{df}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

次に、$g(x) = x^2 - 1$ を $x$ で微分します。

$\frac{dg}{dx} = 2x$

チェーンルールを適用して、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 2x$

ここで、$u = x^2 - 1$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^2 - 1)^2} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$