関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いて微分します。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x-1$、$v = x^3+1$ とすると、

$u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2$

これらを商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{1 \cdot (x^3+1) - (x-1) \cdot (3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3+1 - (3x^3 - 3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3+1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$