関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x^4 + 5)^{-1}$ と書き換えます。次に、合成関数の微分（チェーンルール）を適用します。チェーンルールは、関数 $y = f(g(x))$ を微分するときに、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ となることを利用します。

この場合、$g(x) = x^4 + 5$ とすると、$y = g(x)^{-1}$ となります。

$y$ を $g$ で微分すると、

$\frac{dy}{dg} = -1 \cdot g^{-2} = - (x^4 + 5)^{-2} = -\frac{1}{(x^4+5)^2}$

$g$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dg}{dx} = \frac{d}{dx}(x^4 + 5) = 4x^3$

したがって、チェーンルールを用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = -\frac{1}{(x^4+5)^2} \cdot 4x^3 = -\frac{4x^3}{(x^4+5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4+5)^2}$