関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の導関数が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x^2 + 1$ であり、$v(x) = x^2 - 1$ です。

それぞれの導関数は、

$u'(x) = 2x$

$v'(x) = 2x$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{2x^3 - 2x - (2x^3 + 2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$