関数 $f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ について、 (1) $f(0)$ と $f(\frac{\pi}{3})$ を計算し、 (2) 2倍角の公式を用いて $\cos^2\theta$ を変形し、さらに $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて $f(\theta)$ を表す。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ について、

(1) $f(0)$ と $f(\frac{\pi}{3})$ を計算し、

(2) 2倍角の公式を用いて $\cos^2\theta$ を変形し、さらに $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて $f(\theta)$ を表す。

2. 解き方の手順

(1)

- $f(0)$ を計算する。

$f(0) = 3\sin^2(0) + 4\sin(0)\cos(0) - \cos^2(0) = 3(0)^2 + 4(0)(1) - (1)^2 = -1$

- $f(\frac{\pi}{3})$ を計算する。

$f(\frac{\pi}{3}) = 3\sin^2(\frac{\pi}{3}) + 4\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = 3(\frac{3}{4}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{4}) - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} + \sqrt{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$

(2)

- 2倍角の公式を用いて $\cos^2\theta$ を変形する。

$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より $\cos^2\theta = \frac{\cos 2\theta + 1}{2}$

- $f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ で表す。

まず、$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を用いる。

また、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ より $f(\theta) = 3(1 - \cos^2\theta) + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta = 3 - 4\cos^2\theta + 2(2\sin\theta\cos\theta) = 3 - 4(\frac{\cos 2\theta + 1}{2}) + 2\sin 2\theta = 3 - 2\cos 2\theta - 2 + 2\sin 2\theta = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(0) = -1$, $f(\frac{\pi}{3}) = 2 + \sqrt{3}$

(2) $\cos^2\theta = \frac{\cos 2\theta + 1}{2}$, $f(\theta) = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1$